| |
|
 4,
2002
Świat niedookreślony
Wierzymy, że świat matematyczny jest odbiciem rzeczywistego,
wobec tego matematyka mówi nam nie o świecie urojonym w głowach
matematyków, ale istniejącym wokół.
Rozmowa z prof. Ludomirem Newelskim,
matematykiem, laureatem Nagrody FNP za rok 2001
Czy matematyka jest bardziej poznawaniem świata,
czy jego "wymyślaniem"?
- Jest to podstawowe pytanie dotyczące filozofii matematyki.
Można by na ten temat napisać książkę.
- Myślę, że tylko filozofia matematyki jest dostępna laikom
i bardzo dla nich interesująca.
- Może. Ja myślę, że matematycy uważają swoją dziedzinę za
badanie pewnego abstrakcyjnego świata, istniejącego w ich
umysłach, istniejącego "w pewnym sensie", w sensie idealnym,
duchowym. Jeśli jednak poprosimy o bardziej szczegółową odpowiedź,
a zwłaszcza zapytamy właśnie filozofów matematyki, powiedzą,
że ten świat badany nie istnieje zupełnie samoistnie, tylko
przez siebie i tylko dla siebie - on jest w pewnej odpowiedniości
ze światem materialnym, ze światem ludzkich doświadczeń,
ludzkiej praktyki. W związku z tym wydaje mi się, że wszystkie
pojęcia tego abstrakcyjnego, idealnego matematycznego świata,
badane przez matematyków, są właśnie abstrakcjami, uogólnieniami
pojęć funkcjonujących bądź zjawisk występujących w świecie
realnym, materialnym nawet. Tak np. figury geometryczne -
punkt czy prosta - gdy je rysujemy na tablicy, mają jakąś
konkretną grubość, zależną od grubości kredy do rysowania,
ale w umyśle matematyka ta grubość jest nieskończenie mała.
I w tym sensie konkretny model abstrakcyjnego pojęcia, który
się pojawia na tablicy, jest jedynie przybliżeniem pojęcia
punktu czy prostej.
- Co jest na samym początku, zanim matematycy narysują punkt
albo prostą i utworzą w umyśle ich modele?
- Najpierw była rzeczywistość, były te problemy, które ludzie
napotykają w swoim życiu codziennym czy też w praktyce badawczej,
np. w naukach przyrodniczych, i powstało zapotrzebowanie
na uogólnienia, na abstrakcyjne pojęcia matematyczne. Żeby
jakoś sformułować krótką odpowiedź na pani pytanie: z jednej
strony, matematyk tworząc ten abstrakcyjny świat - zwłaszcza
w matematyce współczesnej, gdzie wielu wybitnych właśnie
tworzy nowe pojęcia - ma swobodę w tym, w jaki sposób ujmie
dane zjawisko matematyczne, na które jego aspekty położy
nacisk, a więc ma swobodę w kształtowaniu nowego fragmentu
rzeczywistości matematycznej. Patrząc jednak na to z niejako
wyższego poziomu, można powiedzieć, że wszystkie pojęcia
matematyczne mają odniesienie do świata realnego.
Posłużę się przykładem z biologii. Życie na Ziemi, w takiej
formie, w jakiej widzimy je obecnie, jest wynikiem wielu
przypadkowych, można powiedzieć, uwarunkowań. I gdyby tylko
jeden z parametrów środowiska na Ziemi był nieco inny, życie
wyglądałoby zapewne inaczej. Inny przykład, przytaczany często
przez probabilistów: wyobraźmy sobie cegłę, która spada z
dachu i rozbija się na ziemi. Odpryski układają się w pewien
sposób. Prawdopodobieństwo, że ułożą się właśnie tak, a nie
inaczej, jest bliskie zeru, natomiast to, że cegła spadając
z dachu rozbije się i odpryski jakoś tam się ułożą - jest
niemal pewne. W tym sensie można powiedzieć, że świat matematyki,
stworzony przez ludzi, zależy od osobistych talentów, predyspozycji
tych ludzi, ale samo jego powstanie wydaje się konieczne.
- Z powodu właściwości ludzkiego umysłu, mózgu?
- Mózgu też, ale jest, moim zdaniem, naturalną i konieczną
konsekwencją rozwoju ludzkiej cywilizacji, kultury.
- Interesuje mnie, jakie cechy umysłu warunkują to, że ktoś
się zajmie matematyką, poświęci się tworzeniu matematycznego
świata?
- Muszę się zastrzec, że jako matematyk nie jestem predestynowany
do odpowiadania na to pytanie. Należałoby je skierować do
psychologów, psychologów nauki...
- Proszę powiedzieć, czemu zajął się Pan matematyką?
- Pyta pani o dwie różne rzeczy. Pierwsza: jakie cechy umysłu
predestynują do zajęcia się matematyką bądź też świadczyć
mogą o matematycznych uzdolnieniach. Druga: co powoduje,
że konkretny człowiek staje się matematykiem.
- Zacznijmy od drugiego. Słyszę nierzadko, że komuś sprawiało
przyjemność rozwiązywanie zadań w szkole i wybrał studia
matematyczne...
- Przyjemność taka niekoniecznie świadczy o zdolnościach.
Wielu olimpijczyków nie sprawdza się w uprawianiu matematyki.
Jesteśmy więc przy pierwszym z pani pytań. Otóż, wydaje mi
się, że zdolności matematyczne wiążą się z umiejętnością
abstrakcyjnego myślenia i operowania abstrakcyjnymi, symbolicznymi
niemalże, pojęciami. Z tych pojęć trzeba - w umyśle - umieć
tworzyć nawarstwiające się konstrukcje.
Teraz drugie - nie można powiedzieć, że każdy z tych samych
przyczyn zajmuje się matematyką. Niektórzy traktują to jak...
sportową rywalizację. W matematyce, inaczej niż w wielu dziedzinach
wiedzy - humanistycznych, a nawet ścisłych - kryteria wartości
osiągnięcia naukowego są w miarę precyzyjne. Jeżeli ktoś
formułuje jakieś pytanie, jakiś problem otwarty, to ten,
kto pierwszy na to pytanie odpowie, kto rozwiąże ten problem,
jest lepszy od innych. Historia matematyki pokazuje taką
rywalizację. Stefan Kulczycki w książce Opowieści z dziejów
liczb opisał nadwornych matematyków i astronomów epoki renesansu,
którzy zabawiali się zadawaniem sobie nawzajem trudnych do
rozwiązania równań. Takie widzenie matematyki bywa, zwłaszcza
dla młodych ludzi, bardzo pociągające. Na dłuższą metę jednak
jest zwodnicze i błędne.
- Dlatego, że stawia na równi formułowanie problemów i ich
rozwiązywanie? Mnie, laika, zastanawia, co jest ważniejsze?
- Kiedyś byłem na obozie przygotowawczym do olimpiady międzynarodowej
i przyszli redaktorzy z radia, którzy pytali podobnie jak
pani. Myślałem wtedy, że zadaniem matematyka jest rozwiązywanie
zadań, dowodzenie twierdzeń, a jeden z moich kolegów (nazywał
się Jerzy Sawa, pochodził z Włodawy) powiedział, że równie
ważne jest samo tworzenie "matematycznej materii", formułowanie
problemów, wymyślanie nowych pojęć. Byłem zaskoczony takim
ujęciem, ale teraz myślę, że to właśnie jest istotą matematyki
- badanie abstrakcyjnego świata w sposób bardzo zbliżony
do tego, jak przyrodnicy badają świat rzeczywisty. Oni tworzą
sobie nowe przyrządy - astrolabium, mikroskop. Tak samo matematycy
wymyślają nowe narzędzia do zbadania tych zjawisk, które
postrzegają w matematycznym świecie. Wielcy matematycy mają
największą zasługę w tym, że tworząc nowe narzędzia jednocześnie
poszerzają świat badany.
- Który sami matematycy "wymyślili"?
- Świat matematyczny powstawał, początkowo, z codziennych
doświadczeń i coziennych potrzeb ludzi. Przecież liczb
naturalnych używano od niepamiętnych czasów. Operacje matematyczne
na liczbach naturalnych, związane z handlem, pieniędzmi,
znamy od starożytności. Bardziej zaawansowana matematyka,
ta bliższa współczesności, ma źródła w świecie nauk szczegółowych,
gdzie wykorzystuje się metody matematyczne w badaniach.
Na własny użytek tak to formułuję: matematycy dostarczają
- w odległym, powiedziałbym, sensie - pewnych struktur
myślenia, pewnych szablonów teoretycznych, które mogą być
używane do poznawania świata rzeczywistego. Tak widzę rolę
matematyki.
- A Pana rola w matematyce?
- Moja rola jest mało związana z tą przydatnością innym naukom,
co wynika z mojej drogi do matematyki. Zaczęło się od lektury,
chyba w piątej klasie szkoły podstawowej, pięknej książki
Szczepana Jeleńskiego Śladami Pitagorasa, do której i dzisiaj
czasami zaglądam. Zobaczyłem inną matematykę niż na lekcjach.
Zaintrygowała mnie bardzo geometria i badanie liczb, taka,
powiedziałbym, elementarna teoria liczb, np. problem liczb
bliźniaczych - do dzisiaj otwarty. Starałem się samodzielnie
odkrywać różne prawa. Nawiasem mówiąc, później dowiedziałem
się, że podobne rzeczy robił w młodości Pascal. W szkole
średniej czytałem radzieckie czasopismo dla uczniów "Kwant"
(także "Deltę"). Zauważyłem kiedyś przypis mówiący, że
w dowodzie jakiegoś tam twierdzenia musimy użyć metody
indukcji matematycznej, że aby zrozumieć, dlaczego należy
tak właśnie postępować, trzeba mieć wiedzę z logiki matematycznej.
Zafascynowało mnie to, że o matematyce można myśleć jak
gdyby z metapoziomu - zastanawiać się nad dowodem matematycznym
rozważając, czy jest on w ogóle możliwy, czy i w jaki sposób
można dowodzić twierdzeń. Zainteresowałem się logiką matematyczną
i ona odsłoniła mi inne oblicze matematyki, to bardziej
filozoficzne. Później, na studiach, nie byłem pewien, czy
te zainteresowania zwyciężą. Zwyciężyły - zająłem się właśnie
logiką matematyczną, a szczególnie teorią modeli, która
jest skonkretyzowaniem tych idei.
- Proszę przybliżyć czytelnikom teorię modeli.
- Teoria modeli ma dwa źródła. Z jednej strony, są to pytania
dotyczące filozoficznych podstaw matematyki, z drugiej,
współcześnie, jej źródłem są bardziej konkretne badania
matematyczne dotyczące przede wszystkim pewnych struktur
algebraicznych.
Trzeba tu powiedzieć nieco o historii logiki matematycznej
w XX wieku i na tym tle o miejscu teorii modeli w matematyce.
Logika, pochodząca ze starożytności, od Arystotelesa, stała
się na przełomie XIX i XX wieku jednym z narzędzi do uściślania
matematyki, która nie zawsze była nauką tak ścisłą, jak dzisiaj.
Dowiedziałem się niedawno od kolegi zajmującego się historią
matematyki, że w wieku XVII na ziemiach polskich wielokrotnie
pisano prace doktorskie "rozwiązujące" problem... kwadratury
koła. W XIX wieku udowodniono, że jest to problem nierozwiązywalny.
Pokazuje to, jak matematyka borykała się ze swoją "nieścisłością".
W XIX wieku matematycy zaczęli dążyć do uściślania pojęć.
Metodą była formalizacja - na gruncie logiki oraz teorii
mnogości, teorii zbiorów. Na przełomie wieków powstał w związku
z tym "program Hilberta" zawierający pytanie o możliwości
wyciągnięcia pewnych daleko idących konsekwencji z formalizacji
matematyki.
- Trudno to pojąć niematematykom...
- Może ułatwi to takie porównanie: jeżeli popatrzymy na matematykę,
jak na naukę sformalizowaną opartą na systemie aksjomatów,
to dowodzenie twierdzeń możemy porównać do gry w szachy.
Na szachownicy mamy układ figur, które gracze - zgodnie
z pewnymi regułami - przesuwają. Analogicznie, dowodzenie
twierdzeń polega na tym, że mamy układ aksjomatów i zgodnie
z regułami wyciągamy z nich wnioski. Można by sobie wyobrazić
taki komputer, który wypisywałby wszystkie twierdzenia,
czyli wnioski z danego układu aksjomatów. Hilbert postawił
pytanie, powiedziałbym, ogólniejsze, o algorytm, o metodę
sprawdzania, czy dane twierdzenie jest "dowodliwe" z danego
układu aksjomatów. Inne pytanie: czy można sformułować
system aksjomatów zupełny, tj. taki, w którym każda hipoteza
może być rozstrzygnięta? Były to wielkie pytania związane
z formalizmem, którego przedstawicielem filozoficznym był
właśnie Hilbert.
Przełomem w matematyce XX wieku i, wydaje mi się, w całej
nauce, stały się twierdzenia Goedla z lat trzydziestych.
Goedel odpowiedział negatywnie na obydwa pytania Hilberta.
Udowodnił, że, po pierwsze, nie jesteśmy w stanie sformułować
takiego systemu aksjomatów, takiej teorii, która rozstrzygałaby
wszystkie hipotezy, a po drugie, mając system aksjomatów
nie jesteśmy w stanie stworzyć metody, która pozwalałaby
rozstrzygać, czy dane twierdzenie jest konsekwencją naszych
aksjomatów. Nie da się więc zbudować takiego komputera, który
zastąpiłby twórczego matematyka.
- Pocieszające...
- Można powiedzieć, że idee rozwinięte przez Goedla i potem
przez Alfreda Tarskiego, który sformułował twierdzenie
o niedefiniowalności prawdy, dotyczące również filozoficznych
podstaw matematyki, przyniosły upewnienie o niemożności
formalnego zdefiniowania pojęcia prawdy - tego arystotelesowskiego
- na gruncie logiki formalnej. I te wielkie odkrycia sprawiły,
że metamatematyka... stała się matematyką.
- Co to znaczy?
- Ująłbym to tak: rozważania logików matematycznych mają
równie precyzyjny charakter jak rozważania matematyków.
Inaczej mówiąc, w logice matematycznej stosuje się metody
matematyczne, coraz bardziej zaawansowane. Być może to
jest jedno z największych osiągnięć tej logiki, że wzniosła
się na dużo wyższy poziom abstrakcji. Na tym tle powstała
teoria modeli. Jej ojcami są: logik Alfred Tarski i matematyk
Abraham Robinson. Idea była taka, że jeśli metoda matematyczna
polega na wyciąganiu wniosków z teorii, to być może coś
o możliwości wyciągania tych wniosków i o samej "rzeczywistości
matematycznej", powie nam badanie wszystkich możliwych,
abstrakcyjnych, potencjalnych modeli tejże teorii, niejako
wszystkich jej wersji. W tych modelach uzewnętrzniają się
cechy rzeczywistości matematycznej jakby powiększone, wypreparowane
i umieszczone pod mikroskopem.
Według mnie, odkrycia Goedla i Tarskiego można porównać do
przełomu, jakim były odkrycia Einsteina w fizyce. Zwróciły
one uwagę na względność pewnych podstawowych pojęć matematycznych,
pokazując, że jakieś twierdzenie może być prawdziwe w danym
modelu, wybranym, a w innym modelu (tej samej teorii) nie
będzie prawdziwe. Wskazały również na ograniczoność możliwości
badawczych w matematyce. Matematyk, mianowicie, wyraża swoje
twierdzenia w języku - mniej lub bardziej formalnym, mniej
lub bardziej precyzyjnym - a ten język ma ograniczone środki
wyrazu. Twierdzenia Goedla o niezupełności i nierozstrzygalności
teorii matematycznych ujawniły to, że nigdy nie będziemy
w stanie sformułować teorii, która pozwoliłaby odpowiedzieć
na wszystkie pytania, jakie zdołamy wymyślić.
Teoria modeli skupiła się na rozwinięciu idei Goedla. Jednym
z pytań, jakie sobie stawiamy my, zajmujący się nią, jest
pytanie, które z własności modeli dadzą się wyrazić za pomocą
języka. Jest to badanie granic poznania w tych abstrakcyjnych
modelach. Zastrzegam, że bardzo to wszystko upraszczam.
- Nie dałoby się inaczej mówić o teorii modeli niematematykom.
- W ostatnich latach udało się teorię modeli rozwinąć w ten
sposób, że zaczęła mówić coś interesującego "klasycznym"
matematykom. Pojawiły się jej zastosowania m.in. w algebrze,
geometrii algebraicznej, jak również do rozwiązywania wielkich
problemów teorii liczb. Jest to pasjonujący kierunek rozwoju.
- Rozumiem, że właśnie tymi zagadnieniami Pan się zajmuje.
- Zajmuję się, z jednej strony, klasycznym nurtem teorii
modeli, tym związanym z pytaniami filozoficznymi, a z drugiej
strony, jej związkami z algebrą i analizą. W takiej perspektywie,
powiedziałbym, logika i teoria modeli uzyskują pełniejszą
legitymizację w obrębie matematyki.
- Jeśli dobrze rozumiem, twierdzenia Goedla stanowią dzisiaj
nieprzekraczalny horyzont, trudno sobie wyobrazić, że mogłyby
zostać zakwestionowane?
- Twierdzenia matematyczne mają to do siebie, że są - w pewnym
sensie - absolutnie prawdziwe. W pewnym sensie, gdyż wiedza
absolutnie prawdziwa może pochodzić tylko od Boga, natomiast
jeżeli przyjmiemy założenia twierdzeń matematycznych, to
ich wnioski są niepodważalne - w matematycznym świecie. Matematycy
klasyczni wierzą, że pytania, które stawiają, są rozstrzygalne
na gruncie tego formalizmu, jakim obecnie dysponują.
- Nie da się przewidywać rewolucyjnych przełomów...
- Oczywiście, że nie! Wydaje mi się, że w filozofii należałoby
rozróżnić sposoby istnienia. O ile np. krzesło istnieje
w sposób dający się stwierdzić zmysłowo przez każdego człowieka,
o tyle liczby zespolone czy liczby rzeczywiste istnieją
w sposób mniej "dotykalny". Im dalej idziemy w abstrakcjach
matematycznych, tym bardziej ich istnienie staje się umowne.
Świat matematyczny jest niedookreślony, to chyba właściwe
słowo. Być może jakieś jego fragmenty będą się z czasem
okazywać prawdziwe albo nie.
- Czy dążeniem matematyków jest dookreślanie?
- Naszym dążeniem jest badanie świata, przede wszystkim świata
matematycznego, w tym sensie można na to pytanie odpowiedzieć
twierdząco. Ale wierzymy, że świat matematyczny jest odbiciem
rzeczywistego, wobec tego matematyka mówi nam nie o świecie
urojonym w głowach matematyków, ale istniejącym wokół.
Dlatego można stosować matematykę w innych dziedzinach
badań i w działaniach praktycznych. W podstawach matematyki
pojawiają się problemy związane z niedookreślonością, z
granicami świata, z granicami świata matematyki. Mnie to
fascynuje.
Rozmawiała Magdalena Bajer
Źródło:
|
|
|
